'아인슈타인'과 그 위대한 수학적 미스터리를 발견하세요

그들은 유명한 물리학자를 지칭하는 것이 아니라 하나의 돌을 의미하는 독일어 표현 ein stein의 말장난으로 아인슈타인으로 알려져 있습니다. 이 경우에는 틈을 남기지 않고 표면을 덮을 수 있는 닫힌 모양을 참조하여 하나의 타일로 번역하는 것이 더 적절할 것입니다. 간단히 말해서, 테세라이지만 위대한 수학적 미스터리 중 하나를 해결하게 된 독특한 특성을 가지고 있습니다.

아인슈타인 유형의 테세라 또는 타일은 비주기적이라는 특징이 있습니다. 즉, 모자이크로 함께 배열하면 무한한 평면 전체를 덮을 수 있지만 동시에 반복적인 패턴을 형성하지 않으므로 어떤 종류의 대칭도 식별할 수 없습니다. 그러나 모자이크를 분할하면 각 부분은 고유하며 어느 부분도 다른 부분의 패턴을 반복하지 않습니다. 아인슈타인은 무리수와 동등한 모자이크입니다.

이 디자인은 무한 확장에서 아무리 작은 두 영역이나 섹션도 동일한 테셀레이션 레이아웃과 공존할 수 없다고 상상하기 어렵기 때문에 믿을 수 없거나 불가능해 보입니다. 사실, 반세기가 넘도록 수학자들은 그것이 가능하다는 것을 의심해 왔습니다. 그리고 2023년 3월, '모자'의 발견이 확인되었습니다. 바로 찾기 힘든 아인슈타인입니다.

이 모자는 대중에게 공개되자마자 다양한 예술가와 창작자들에 의해 디자인의 모티브로 채택되었으며, 그 중 일부는 그 자체로 실제 게임이기도 합니다. 예를 들어, 미국 예술가이자 수학자인 Robert Fatauer가 만든 이 구성에서는 셔츠와 모자가 몇 개 있는지 식별해야 합니다.

이 모자이크에서 모자는 거북이로 변형되었으며, 과제는 반사된 다른 거북이, 즉 머리가 왼쪽으로 향하고 있는 거북이를 식별하는 것입니다.

이러한 유형의 도형의 존재 여부에 대한 문제는 1961년 중국 수학자 왕하오(Hao Wang)가 소위 "왕의 추측"을 공식화하면서 시작되었습니다. 전체적으로 주기적인 테셀레이션도 허용됩니다. 그러나 이 추측은 불과 5년 후인 1966년에 수학자 로버트 버거(Robert Berger)에 의해 반증되었으며, 그는 비주기성을 증명할 수 있는 20,426개의 타일 모양으로 이루어진 "괴물"이라는 비주기적 조각의 첫 번째 세트를 확인했습니다.

그 순간부터 많은 수학자들은 점점 더 작은 형태의 집합을 발견하기 시작했습니다. 이 탐구는 1974년 뛰어난 물리학자이자 수학자인 로저 펜로즈(Roger Penrose)가 주도했는데, 그는 "연"과 "다트"라는 이름의 매우 단순한 두 가지 모양을 기반으로 우아한 솔루션을 제시했습니다.

물리학자이자 수학자인 로저 펜로즈(Roger Penrose)는 "연"과 "다트"라는 두 가지 매우 단순한 모양을 기반으로 한 우아한 솔루션을 제시했습니다. 크레딧: 자체 디자인

그 이후로 지속적인 노력에도 불구하고 누구도 모양의 수를 최소한으로 줄이는 데 성공하지 못했습니다. 즉, 어떤 주기성도 없이 무한한 표면을 테셀레이션할 수 있는 단일 디자인을 찾는 것입니다.

이 게임의 목표는 다음과 같은 조각을 함께 맞춰서 각 보드를 채우는 것입니다.

몇 달 전인 2022년 11월, 은퇴한 영국의 수학 애호가인 데이비드 스미스는 운명의 장난으로 어려운 퍼즐을 풀었습니다. 첫째, 다양한 모양을 디자인하고 조립할 수 있는 컴퓨터 프로그램을 가지고 놀았습니다. 그러다가 유망한 디자인을 발견했을 때 그는 실험할 수 있도록 종이에 여러 조각을 오려냈습니다. 마치 어린이 게임을 하는 것과 같은 방식으로 그는 아인슈타인이 되기 위한 요구 사항을 충족하면서도 놀랍도록 단순한 13면 다각형인 "모자"를 발견했습니다. 아니면, 최초의 아인슈타인이 되는 것입니다. 이 속성은 Smith가 자신의 발견을 알게 되었을 때 도움을 받았던 컴퓨터 과학자 Craig Kaplan이 다른 수학자들과 협력하여 수학계에 혁명을 일으킨 논문에서 방금 입증되었습니다. 발견된 디자인은 고유한 것이 아니라 원래 모자 모양의 측면 비율과 크기를 수정하여 얻은 전체 아인슈타인 연속체 중 첫 번째 디자인이기 때문에 더욱 그렇습니다.